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高中数学理科基础知识讲解《75数学归纳法》教学课件

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  • 高中数学理科基础知识讲解《75数学归纳法》教学课件-PPT模板7.5　数学归纳法,1.数学归纳法的定义一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立;(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=　　　　　时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.2.数学归纳法的框图表示k+1,1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“”.(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.(　　)(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(　　)(3)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.(　　)(4)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,验证n=1时,左边式子应为1+2+22+23.(　　)(5)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时,n0=3.(　　)√√,2.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n∈N*),验证n=1时,左边应取的项是(　　)A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+4D解析:在等式1+2+3+…+(n+3)=(n∈N*)中,当n=1时,n+3=4,而等式左边是起始为1的连续的正整数的和,故n=1时,等式左边的项为:1+2+3+4,故选D.,3.(2019上海嘉定区期末)已知f(n)=2+4+6+…+2n,则f(n+1)比f(n)多了几项(　　)A.1B.nC.n+1D.D ,用数学归纳法证明等式例1(2019浙江杭州西湖区模拟)已知函数f(n)=-1+3-5+…+(-1)n·(2n-1)(n∈N*).(1)求f(n+1)-f(n);(2)用数学归纳法证明f(n)=(-1)n•n.(1)解:∵f(n)=-1+3-5+…+(-1)n·(2n-1)(n∈N*),∴f(n+1)-f(n)=(-1)n+1·(2n+1).(2)证明:(i)n=1时,f(1)=-1成立.(ii)假设n=k∈N*时成立,即f(k)=(-1)k·k.则n=k+1时,f(k+1)=f(k)+(-1)k+1·(2k+1)=(-1)k·k+(-1)k+1·(2k+1)=(-1)k+1·(2k+1-k)=(-1)k+1·(k+1).∴n=k+1时也成立.综上可得,对于任意n∈N*,f(n)=(-1)n·n.,解题心得用数学归纳法证明等式的注意点:(1)用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少.(2)由n=k时等式成立,推出n=k+1时等式成立,一要找出等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程.(3)不利用归纳假设的证明,就不是数学归纳法.,利用数学归纳法证明不等式(1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小关系;(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并给出证明.,解题心得1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时,若用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法.2.证明的关键是:由n=k时命题成立证n=k+1时命题也成立,在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明,充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧,使问题得以简化.,归纳—猜想—证明(多考向)考向1　与函数有关的证明例3设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf'(x),x≥0,其中f'(x)是f(x)的导函数.(1)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N*,求gn(x)的表达式;(2)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围.,思考与函数有关的证明是何时使用数学归纳法?解题心得一般的若函数涉及解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中,常常利用特值探索一下结论,再进行猜想、证明.此时往往用到数学归纳法.,对点训练3(2019江苏南通诊断)已知函数f(x)=x2-x+1,记f1(x)=f(x),当n≥2时,fn(x)=(f(x)).(1)求证:f2(x)在(1,+∞)上为增函数;(2)对于任意n∈N*,判断fn(x)在(1,+∞)上的单调性,并证明.证明:(1)因为f2(x)=f(f(x))=f(x2-x+1),所以f2'(x)=(2x-1)f'(x2-x+1),因为x>1,所以2x-1>0,x2-x+1>1,所以f'(x2-x+1)=2(x2-x+1)-1>0,所以f2'(x)>0,所以f2(x)在(1,+∞)上为增函数.,(2)对于任意x∈N*,f(x)在(1,+∞)上单调递增.证明如下:①当n=1时,结论显然成立;②假设当n=k时结论也成立,即fk(x)在(1,+∞)上为增函数,所以fk'(x)>0在(1,+∞)上恒成立.当n=k+1时,fk+1(x)=fk(f(x))=fk(x2-x+1),所以fk+1'(x)=(2x-1)fk'(x2-x+1).又当x>1时,2x-1>0,x2-x+1>1,所以fk'(x2-x+1)>0在(1,+∞)上恒成立,所以fk+1'(x)=(2x-1)fk'(x2-x+1)>0在(1,+∞)上恒成立,所以(x)在(1,+∞)上为增函数.由①②得证,对于任意n∈N*,fn(x)在(1,+∞)上均为增函数.,考向2　与数列有关的证明例4(2019福建三明期末)观察以下等式:13=1213+23=(1+2)213+23+33=(1+2+3)213+23+33+43=(1+2+3+4)2(1)请用含n的等式归纳猜想出一般性结论,并用数学归纳法加以证明.(2)设数列{an}的前n项和为Sn,且an=n3+n,求S10.,解:(1)猜想13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2.当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立;假设n=k时,13+23+33+…+k3=(1+2+3+…+k)2,当n=k+1时,13+23+33+…+k3+(k+1)3=(1+2+3+…+k)2+(k+1)3可得n=k+1时,猜想也成立.综上可得对任意的正整数n,13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2.(2)数列{an}的前n项和为Sn,且an=n3+n,S10=(13+23+…+103)+(1+2+3+…+10)=(1+2+…+10)2+=552+55=3080.,谢谢观看！备注：部分文字使用了文字编辑器，需双击才能进行修改。
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