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![高中数学理科基础知识讲解《29函数模型及其应用》教学课件-PPT模板2.9 函数模型及其应用,1.常见的函数模型(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);(2)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);(3)反比例函数模型:f(x)=(k为常数,k≠0);(4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1);(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1);(6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);,2.指数、对数、幂函数模型的性质比较y轴x轴,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“×”.(1)幂函数增长比一次函数增长更快.( )(2)在(0,+∞)内,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α>0)的增长速度.( )(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题.( )(4)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,恒有h(x)<f(x)<g(x).( )(5)“指数爆炸”是指数型函数y=a·bx+c(a>0,b>1)增长速度越来越快的形象比喻.( )×,2.(2019广东江门一模,5)根据市场调查,预测某种日用品从年初开始的n个月内累计的需求量Sn(单位:万件)大约是Sn=(21n-n2-5)(n=1,2,…,12).据此预测,本年度内,需求量超过5万件的月份是( )A.5月、6月B.6月、7月C.7月、8月D.8月、9月C,3.(2019北京,7)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10-10.1A,4.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8万元时,奖励1万元,在销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为 万元. 1024,5.(2019北京,理14)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元; (2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为 . 130 15,解析:(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付(60+80)-10=130(元).(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y元,y<120元时,李明得到的金额为y·80%,符合要求.,二次函数模型的应用例1(2019山西康杰中学模拟)某企业为打入国际市场,决定从A,B两种产品中只选择一种进行投资生产,已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位:万美元):其中,年固定成本与年生产的件数无关,m为待定常数,其值由生产A产品的原料价格决定,预计m∈[6,8],另外,年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税,假设生产出来的产品都能在当年销售出去.(1)写出该厂分别投资生产A,B两种产品的年利润y1,y2与生产相应产品的件数x1,x2之间的函数关系式,并指明定义域;(2)如何投资才可获得最大年利润?请你做出规划.,解:(1)由题意得y1=10x1-(20+mx1)=(10-m)x1-20(0≤x1≤200,且x1∈N),y2=18x2-(40+8x2)-0.05=-0.05+10x2-40=-0.05(x2-100)2+460(0≤x2≤120,且x2∈N).(2)∵6≤m≤8,∴10-m>0,y1=(10-m)x1-20为增函数.又0≤x1≤200,x1∈N,∴当x1=200时,生产A产品的最大利润为(10-m)×200-20=1980-200m(万美元).∵y2=-0.05(x2-100)2+460(0≤x2≤120,且x2∈N),∴当x2=100时,生产B产品的最大利润为460万美元.(y1)max-(y2)max=(1980-200m)-460=1520-200m.易知当6≤m<7.6时,(y1)max>(y2)max.即当6≤m<7.6时,投资生产A产品200件可获得最大年利润;当m=7.6时,投资生产A产品200件或投资生产B产品100件,均可获得最大年利润;当7.6<m≤8时,投资生产B产品100件可获得最大年利润.,思考生活中常见的哪些问题涉及的两个变量之间是二次函数关系?解题心得在现实生活中,很多问题涉及的两个变量之间的关系是二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型,利用二次函数的图象与单调性解决.,对点训练1(2019河北唐山一中模拟)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v(单位:千克/年)是养殖密度x(单位:尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时,v的值为2千克/年;当4<x≤20时,v是x的一次函数,当x达到20尾/立方米时,因缺氧等原因,v的值为0千克/年.(1)当0<x≤20时,求函数v关于x的函数解析式;(2)当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)可以达到最大?并求出最大值.,分段函数模型的应用例2(2019西安市第一中学模拟)某景区提供自行车出租,该景区有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超出6元,则每超过1元,租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算,每辆自行车的日租金x(元)只取整数,并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分).(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多?,解:(1)当x≤6时,y=50x-115,令50x-115>0,解得x>2.3,∵x为整数,∴3≤x≤6,x∈Z.当x>6时,y=[50-3(x-6)]x-115=-3x2+68x-115.令-3x2+68x-115>0,有3x2-68x+115<0,结合x为整数得6<x≤20,x∈Z.,思考分段函数模型适合哪些问题?解题心得1.在现实生活中,很多问题的两个变量之间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成分段函数.如出租车票价与路程之间的关系就是分段函数.2.分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其作为几个不同问题,将各段的规律找出来,再将其合在一起.要注意各段变量的范围,特别是端点.,对点训练2(2019湖北八校联考一,19)首届中国国际进口博览会于2018年11月5日至10日在上海的国家会展中心举办.国家展、企业展、经贸论坛、高新产品汇集……首届进博会亮点纷呈.一个更加开放和自信的中国,正用实际行动为世界构筑共同发展平台,展现推动全球贸易与合作的中国方案.某跨国公司带来了高端智能家居产品参展,供采购商洽谈采购,并决定大量投放中国市场.已知该产品年固定研发成本30万美元,每生产一台需另投入90美元.设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完,每万台的销售收入为G(x)万美元,(1)写出年利润S(万美元)关于年产量x(万台)的函数解析式;(利润=销售收入-成本)(2)当年产量为多少万台时,该公司获得的利润最大?并求出最大利润.,对勾函数模型:y=x+(a>0)的应用例3某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室,在矩形温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道,沿前侧内墙保留3m宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大面积是多少?,对点训练3为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式.(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.,指数型、对数型函数模型的应用例4一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比;(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年?,思考哪些实际问题适合用指数函数模型解决?解题心得1.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与已知表格中给定的值对应求解.2.有关对数型函数的应用题,一般都会给出函数解析式,要求根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据值回答其实际意义.,对点训练4声强级Y(单位:分贝)由公式给出,其中I为声强(单位:W/m2).(1)平常人交谈时的声强约为10-6W/m2,求其声强级.(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝,求能听到的最低声强为多少?(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝,已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10-7W/m2,问这两位同学是否会影响其他同学休息?,1.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;(3)解模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将数学结论还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下:,2.实际问题中往往涉及一些最值问题,我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值.1.解应用题的关键是审题,不仅要明白、理解问题讲的是什么,还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”),学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读,导致题目不会做或函数解析式写错.2.解应用题建模后一定要注意定义域.3.解决完数学模型后,注意转化为实际问题写出总结答案.,谢谢观看！备注：部分文字使用了文字编辑器，需双击才能进行修改。](http://web.docer.wpscdn.cn/docer/new-webmall-prod/img/loading-img-42.ffcbba5.gif)
