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![高中数学理科基础知识讲解《32导数的简单应用》教学课件-PPT模板3.2 导数的简单应用,1.函数的单调性与导数的关系(1)已知函数f(x)在某个区间内可导,①如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内 ; ②如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内 ; ③若f'(x)=0,则f(x)在这个区间内是 . (2)可导函数f(x)在[a,b]上单调递增,则有 在[a,b]上恒成立. (3)可导函数f(x)在[a,b]上单调递减,则有 在[a,b]上恒成立. (4)若函数y=f(x)在区间(a,b)内单调,则y=f'(x)在该区间内 . 单调递增 单调递减常数函数f'(x)≥0 f'(x)≤0不变号,2.函数的极值一般地,当函数f(x)的图象在点x0处连续时,(1)如果在x0附近的左侧 ,右侧 ,那么f(x0)是极大值; (2)如果在x0附近的左侧 ,右侧 ,那么f(x0)是极小值. f'(x)>0f'(x)<0f'(x)<0 f'(x)>0,3.函数的最值(1)图象在区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则 为函数的最小值, 为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则 为函数的最大值, 为函数的最小值. (3)设函数f(x)在(a,b)内可导,图象在[a,b]上连续,求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下:①求f(x)在(a,b)内的 ; ②将f(x)的各极值与 进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. f(a)f(b)f(a)f(b)极值f(a),f(b),1.若函数f(x)的图象连续不断,则f(x)在[a,b]上一定有最值.2.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值.3.若函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点.,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“×”.(1)如果函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f'(x)>0.( )(2)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的.( )(3)导数为零的点不一定是极值点.( )(4)函数的极大值不一定比极小值大.( )(5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.( )××,2.如图是函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象,则下面判断正确的是( ).在区间(-2,1)内,f(x)是增函数.在区间(1,3)内,f(x)是减函数.在区间(4,5)内,f(x)是减函数.在区间(2,3)内,f(x)不是单调函数3.(2019河北武邑中学调研二)函数f(x)=x2-2lnx的单调递减区间是( ).(0,1).(1,+∞).(-∞,-1)∪(0,1).(-1,0)∪(0,1),4.(2019云南玉溪一中调研二)函数f(x)=x2lnx的最小值为( )5.(2019湖北八校联考一,15)已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=0,且f(x)的导函数f'(x)满足f'(x)+1<0,则不等式f(lnx)+lnx>1的解集为 . (0,e) 解析:设h(x)=f(x)+x,依题意可知h'(x)=f'(x)+1<0,故函数h(x)在R上单调递减,且h(1)=f(1)+1=1,故不等式f(lnx)+lnx>1可转化为h(lnx)>h(1),则lnx<1,解得0<x<e.故不等式f(lnx)+lnx>1的解集为(0,e).,确定函数的单调区间例1已知函数f(x)=lnx-2x2+3,则函数f(x)的单调递增区间为 . ,思考怎样利用函数的导函数确定其单调区间?解题心得若f'(x)是函数f(x)的导函数,则f'(x)>0的解集对应的区间为函数的单调递增区间,f'(x)<0的解集对应的区间为函数的单调递减区间.,对点训练1若函数f(x)=x+(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点,则f(x)在下列区间上单调递增的是( ).(-2,0).(0,1).(1,+∞).(-∞,-2),构造函数比较大小.b<c<a.a>c>b.a>b>c.b>a>c令f'(x)=0,解得x=e.所以函数f(x)在区间(0,e)上单调递增,在区间(e,+∞)上单调递减.又e<3<8,所以f(e)>f(3)>f(8),即b>a>c.故选.,思考本例题如何根据条件比较三个数的大小?解题心得比较几个数的大小,首先要根据这几个数的特点将这几个数转化为一个函数的几个函数值,然后通过求导确定函数的单调性,最后由单调性进行大小的比较.,对点训练2(2019广东六校联考一,12)已知定义在R上的可导函数f(x)满足f'(x)+f(x)<0,设a=f(m-m2),b=·f(1),则a,b的大小关系是( ).a<b.a>b.a=b.a,b的大小与m有关,求函数的极值、最值例3(1)(2019湘赣十四校联考二,10)已知f(x)=x+1,g(x)=lnx.若f(x1)=g(x2),则x2-x1的最小值为( ).1.2+ln2.2-ln2.2(2)(2018全国1,理16)已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是 . ,解析:(1)设f(x1)=g(x2)=t,所以x1=t-1,x2=et,所以x2-x1=et-t+1.令h(t)=et-t+1,则h'(t)=et-1,所以h(t)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,所以h(t)min=h(0)=2.故选.(2)由题意可得T=2π是f(x)=2sinx+sin2x的一个周期,所以求f(x)的最小值可考虑求f(x)在[0,2π)上的值域.由f(x)=2sinx+sin2x,得f'(x)=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2.,思考函数的导数与函数的极值、最值有怎样的关系?解题心得1.可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f'(x0)=0,且在x0左侧与右侧,f'(x)的符号不同.2.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,则y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调的函数没有极值.,3.利用导数研究函数极值的一般流程:,对点训练3(1)已知函数f(x)=x3-3x2+x的极大值为m,极小值为n,则m+n=( ).0.2.-4.-2(2)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为( ).-1.-2e-3.5e-3.1,(2)由题意可得,f'(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1.因为x=-2是函数f(x)的极值点,所以f'(-2)=0.所以a=-1.所以f(x)=(x2-x-1)ex-1,f'(x)=(x2+x-2)ex-1.令f'(x)=0,解得x1=-2,x2=1.所以当x<-2或x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当-2<x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减.所以当x=1时,f(x)取极小值,f(1)=(1-1-1)e1-1=-1.故选.,求参数范围(多考向)考向1 已知函数单调性求参数范围例4(2019河南新乡二模)已知函数f(x)=ex-alnx在区间[1,2]上单调递增,则a的取值范围是 . 思考如何利用函数的单调性求参数的范围?(-∞,e]解析:由题意知,f'(x)=ex-0在区间[1,2]上恒成立,则a≤(xex)min.令g(x)=xex,则g'(x)=(x+1)ex,可知g(x)在区间[1,2]上单调递增,所以g(x)的最小值为g(1)=e.故a≤e.,考向2 已知函数不等式恒成立求参数范围例5(2019天津,理8)已知a∈R,设函数f(x)=若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立,则a的取值范围为( ).[0,1].[0,2].[0,e].[1,e],解析:(1)当a≤1时,二次函数的对称轴为x=a.需a2-2a2+2a≥0.a2-2a≤0.当x∈(1,a),f'(x)<0,单调递减,当x∈(a,+∞),f'(x)>0,单调递增.需f(a)=a-alna≥0,lna≤1,a≤e,可知1<a≤e.由(1)(2)可知,a∈[0,e],故选.,考向3 已知函数极值或最值求参数范围例6(2019云南昆明模拟)已知函数f(x)=+2klnx-kx,若x=2是函数f(x)的唯一极值点,则实数k的取值范围是( ).(0,2].[2,+∞)思考怎样才能使函数有唯一的极值点?,考向4 已知函数零点个数求参数取值范围例7(2019浙江,9)设a,b∈R,函数.a<-1,b<0.a<-1,b>0.a>-1,b<0.a>-1,b>0,解题心得1.对于函数y=f(x),若函数y=f(x)在区间M上单调递增,则导函数f'(x)在区间M上大于或等于0;若函数y=f(x)在区间M上单调递减,则导函数f'(x)在区间M上小于或等于0.2.已知函数不等式恒成立求参数取值范围,首先要考虑分离参数,然后构造函数,利用最值求解.如果不能分离参数,那么通常分类讨论,利用函数的单调性求解.3.已知极值求参数:若函数f(x)在点x0处取得极值,则f'(x0)=0,且在该点左、右两侧的导数值符号相反.,4.已知函数零点个数求参数取值范围的方法(1)直接法:直接根据题设条件,先构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:将参数分离,转化为求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法:把原函数分解为两个部分(分解为熟悉的函数类型,一边含参数,一边不含参数,含参的往往为一次函数、指数函数、对数函数等单调函数,含参部分一定要搞清参数对函数图象的影响),在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,根据函数图象建立不等式(组),进而得出参数的取值范围.,(4)(2019山东济宁一模,12)已知当x∈(1,+∞)时,关于x的方程xlnx+(3-a)x+a=0有唯一实数解,则a所在的区间是( ).(3,4).(4,5).(5,6).(6,7),1.函数y=f(x)在(a,b)内可导,f'(x)在(a,b)内的任意子区间内都不恒等于零,则f'(x)≥0⇔f(x)在(a,b)内为增函数;f'(x)≤0⇔f(x)在(a,b)内为减函数.2.求可导函数极值的步骤:(1)求定义域及f'(x);(2)求f'(x)=0的根;(3)判定定义域内的根两侧导数的符号;(4)下结论.3.求函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值,首先求出各极值及区间端点处的函数值,然后比较其大小,得结论(最大的就是最大值,最小的就是最小值).,1.注意定义域优先的原则,求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行.2.求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论.3.一个函数在其定义域内的最值是唯一的,最值可以在区间的端点处取得.4.解题时,要注意区分求单调性和已知单调性求参数的问题,处理好当f'(x)=0时的情况,正确区分极值点和导数为0的点.,在抽象函数中如何构造辅助函数阅读下列四个在抽象函数中构造辅助函数,利用辅助函数解决问题的案例,思考如何构造辅助函数?你能不能从具体的实例中抽象出构造辅助函数的数学结论.,例1(2019北京丰台期末)已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(-1)=0,当x<0时,xf'(x)+f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( ).(-∞,-1)∪(0,1).(-1,0)∪(1,+∞).(-∞,-1)∪(-1,0).(0,1)∪(1,+∞)答案:解析:构造函数F(x)=xf(x),当x<0时,F'(x)=f(x)+xf'(x)<0,F(x)单调递减.又f(-1)=0,则F(-1)=0,所以当-1<x<0时,F(x)<0,所以当-1<x<0时,f(x)>0.因为f(x)为奇函数,所以F(x)=xf(x)为偶函数,所以当x>1时,F(x)>0,所以当x>1时,f(x)>0.综上可知,f(x)>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞).故选.,例2已知函数f(x)满足:f(x)+2f'(x)>0,则下列不等式成立的是( )答案:,例3已知f(x)为定义在R上的可导函数,且f(x)<f'(x)对于x∈R恒成立,e为自然对数的底数,则( ).f(1)>ef(0).f(1)=ef(0).f(1)<ef(0).f(1)与ef(0)的大小不确定答案:,答案:,数学抽象的思维过程仔细观察和思考例1、例2的解法,它们有一个共同特点:采用导数的积运算法则,即[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).例3和例4的解法,它们也有一个共同点:采用导数的商运算法则,即(g(x)≠0).由此可见,对于含有f(x)和f'(x)的不等式,将不等式的右边化为0,若左边是由u(x)f(x)+v(x)f'(x),其中u(x)和v(x)为常见的变量或常量,则此时用导数的积运算法则;若左边是由u(x)f(x)-v(x)f'(x),则此时用导数的商运算法则.当然,这只是做题时的起初思想,但是要做出题目,还远远不够,问题的关键在构造函数.,在例1中,f(x)+xf'(x)<0,根据导数的积运算法则得(箭头指向方向为函数的导函数,后面不再说明),可以看出f(x)的导数为f'(x),x的导数为1,从而构造出函数F(x)=xf(x).在例2中,f(x)+2f'(x)>0,根据导数的积运算法则得,可以看出f(x)的导数为f'(x),2的导数为1显然不成立,则不等式两边一定约去了一个不为0的变量,则猜想到y=ex,但这里,在例3中,f(x)-f'(x)>0,根据导数的商运算法则得,可以看出f(x)的导数为f‘(x),ex的导数为ex,从而构造出函数在例4中,由f(x)>f'(x)tanx,得f(x)cosx-f'(x)sinx>0,且sinx>0,根据导数的商运算法则得,可以看出f(x)的导数为f'(x),sinx的导数为cosx,从而构造出函数,数学抽象的结论根据题设条件,并借助初等函数的导数公式和导数的基本运算法则,相应地构造函数如下.,(8)对于不等式f'(x)+kf(x)>0,构造函数g(x)=ekxf(x).(9)对于不等式f'(x)+2xf(x)>0,构造函数g(x)=f(x).(10)对于不等式f'(x)+lnaf(x)>0,构造函数g(x)=axf(x).(11)对于不等式f(x)+f'(x)tanx>0,构造函数g(x)=f(x)sinx.(12)对于不等式f'(x)-f(x)tanx>0,构造函数g(x)=f(x)cosx.,谢谢观看！备注：部分文字使用了文字编辑器，需双击才能进行修改。](http://web.docer.wpscdn.cn/docer/new-webmall-prod/img/loading-img-42.ffcbba5.gif)
