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![高中数学理科基础知识讲解《87空间几何中的向量方法》教学课件-PPT模板8.7 空间几何中的向量方法,1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线l上的非零向量e以及与 的非零向量叫做直线l的方向向量. (2)如果表示非零向量n的有向线段所在直线 平面α,那么称向量n垂直于平面α,记作 .此时把 叫做平面α的法向量. e共线垂直于n⊥α向量n,2.线面关系的判定设直线l1的方向向量为e1=(a1,b1,c1),直线l2的方向向量为e2=(a2,b2,c2),平面α的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面β的法向量为n2=(x2,y2,z2).(1)若l1∥l2,则e1∥e2⇔ ⇔ . (2)若l1⊥l2,则e1⊥e2⇔ ⇔ . (3)若l1∥α,则e1⊥n1⇔e1·n1=0⇔ . (4)若l1⊥α,则e1∥n1⇔e1=kn1⇔ . (5)若α∥β,则n1∥n2⇔n1=kn2⇔ . (6)若α⊥β,则n1⊥n2⇔n1·n2=0⇔ . e2=λe1a2=λa1,b2=λb1,c2=λc1e1·e2=0a1a2+b1b2+c1c2=0a1x1+b1y1+c1z1=0a1=kx1,b1=ky1,c1=kz1 x1=kx2,y1=ky2,z1=kz2x1x2+y1y2+z1z2=0a,3.利用空间向量求空间角(1)两条异面直线所成的角①范围:两条异面直线所成的角θ的取值范围是 . ②向量求法:设异面直线a,b的方向向量为a,b,直线a与b的夹角为θ,a与b的夹角为φ,则有cosθ= . (2)直线与平面所成的角①范围:直线与平面所成的角θ的取值范围是 . ②向量求法:设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为u,直线l与平面α所成的角为θ,a与u的夹角为φ,则有sinθ= 或cosθ=sinφ. |cosφ||cosφ|,(3)二面角①范围:二面角的取值范围是 . ②向量求法:若AB,D分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量的夹角(如图①).设n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则图②中向量n1与n2的夹角的补角的大小就是二面角的平面角的大小;而图③中向量n1与n2的夹角的大小就是二面角的平面角的大小.[0,π],4.利用空间向量求距离(1)点到平面的距离 如图所示,已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离为(2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解.,1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“”.(1)直线的方向向量是唯一确定的.( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的.( )(3)若两条直线的方向向量不平行,则这两条直线不平行.( )(4)若空间向量a垂直于平面α,则a所在直线与平面α垂直.( )(5)两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角.( )(6)已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos<m,n>=,则直线l与平面α所成的角为120°.( )(7)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为45°.( )√√,2.如图所示,在正方体ABD-A1B11D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和A上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB11的位置关系是( )A.斜交B.平行.垂直D.MN在平面BB11内B,3.在正三棱柱AB-A1B11中,AB=AA1,则A1与平面BB11所成角的正弦值为( ),4.(2019安徽合肥模拟)在长方体ABD-A1B11D1中,AB=1,B=2,AA1=3,点M是B的中点,点P∈A1,Q∈MD,则PQ长度的最小值为( ),5.(2019福建漳州二模,8)如图,正方体ABD-A1B11D1的棱AB和A1D1的中点分别为E,F,则直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值为( ),解析:以D为原点,DA为x轴,D为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,,利用空间向量证明平行、垂直例1如图,在四棱锥P-ABD中,P⊥平面ABD,P=2,在四边形ABD中,∠AB=∠BD=90°,AB=4,D=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABD所成的角为30°.求证:(1)M∥平面PAD;(2)平面PAB⊥平面PAD.,证明:以点为坐标原点,分别以B,D,P所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系-xyz.∵P⊥平面ABD,∴∠PB为PB与平面ABD所成的角.∴∠PB=30°.,思考用向量方法证明平行和垂直有哪些基本方法?解题心得1.用向量证明平行的方法(1)线线平行:证明两直线的方向向量共线.(2)线面平行:①证明直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行.(3)面面平行:①证明两平面的法向量为共线向量;②转化为线面平行、线线平行问题.2.用向量证明垂直的方法(1)线线垂直:证明两直线的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零.(2)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线.(3)面面垂直:证明两个平面的法向量垂直.,对点训练1如图所示,在直三棱柱AB-A1B11中,侧面AA11和侧面AA1-B1B都是正方形且互相垂直,M为AA1的中点,N为B1的中点.求证:(1)MN∥平面A1B11;(2)平面MB1⊥平面BB11.,证明:由题意知AA1,AB,A两两垂直,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设正方形AA11的边长为2,则A(0,0,0),A1(2,0,0),B(0,2,0),B1(2,2,0),(0,0,2),1(2,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1).(1)因为几何体是直三棱柱,所以侧棱AA1⊥底面A1B11.,利用空间向量求空间角(多考向)考向1 求异面直线所成的角例2(2019河北衡水中学四调,14)已知直三棱柱AB-A1B11中,∠AB=120°,AB=2,B=1=1,则异面直线AB1与B1所成角的余弦值为 . 思考如何利用向量法求异面直线所成的角?,解析:以垂直于B的方向为x轴,B为y轴,BB1为z轴建立空间直角坐标系.,考向2 求直线与平面所成的角例3如图,四棱锥P-ABD中,PA⊥底面ABD,AD∥B,AB=AD=A=3,PA=B=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为P的中点.则直线AN与平面PMN所成角的正弦值为 . 思考如何利用向量法求直线与平面所成的角?,考向3 求二面角的大小例4(2019四川成都二模,18)如图①,在等腰梯形ABD中,AB∥D,E,F分别为AB,D的中点,D=2AB=2EF=4,M为DF中点.现将四边形BEF沿EF折起,使平面BEF⊥平面AEFD,得到如图②所示的多面体.(1)略;(2)求二面角M-AB-D的余弦值.思考如何利用向量法求二面角?,解:(2)∵平面BEF⊥平面AEFD,平面BEF∩平面AEFD=EF,且EF⊥DF,∴DF⊥平面BEF,∴DF⊥F,∴DF,F,EF两两垂直,以F为坐标原点,分别以FD,F,FE所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,∵DM=1,∴FM=1,∴M(1,0,0),D(2,0,0),A(1,0,2),B(0,1,2).,解题心得(1)利用向量法求异面直线所成的角时,是通过两条直线的方向向量的夹角来求解,而两异面直线所成角θ的范围是,两向量的夹角α的范围是[0,π],所以要注意二者的区别与联系,应有cosθ=|cosα|.(2)利用向量法求线面角的方法①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);②通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角,取其余角就是斜线和平面所成的角.,(3)利用空间向量求二面角的方法①分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小;②通过平面的法向量来求,即设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2,则二面角的大小等于<n1,n2>(或π-<n1,n2>).应注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角.,对点训练2(1)(2019陕西宝鸡中学模拟,10)已知正三棱柱AB-A1B11,AB=AA1=2,则异面直线AB1与A1所成角的余弦值为( )(2)(2019黑龙江哈尔滨三中一模,19)如图所示,在四棱台ABD-A1B11D1中,AA1⊥底面ABD,四边形ABD为菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2.①略;②求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值.,(2)解:②∵四边形ABD为菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2,得DM=1,AM=,∴∠AMD=∠BAM=90°.又∵AA1⊥底面ABD,分别以AB,AM,AA1为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,,(3)(2019四川广安诊断一,19)如图,在棱长为2的正方体ABD-A11B1D1中,M是线段AB上的动点.①略;②若点M是AB中点,求二面角M-A1B1-的余弦值;③略.,(3)解:②∵在正方体ABD-A11B1D1中,B,A,1两两互相垂直,则建立空间直角坐标系-xyz,如图所示,则,求空间距离例5已知三棱锥P-AB中,PA,PB,P两两垂直,且PA=1,PB=2,P=3,则点P到平面AB的距离为 . ,解析:如图所示,∵三棱锥P-AB中,PA,PB,P两两垂直,∴以P为原点,PA为x轴,PB为y轴,P为z轴,建立空间直角坐标系,∵PA=1,PB=2,P=3,∴P(0,0,0),A(1,0,0),B(0,2,0),(0,0,3),,解题心得利用空间向量求距离的基本方法:(1)两点间的距离设点A(x1,y1,z1),点B(x2,y2,z2),(2)点到平面的距离如图所示,已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离为,对点训练3在棱长为a的正方体ABD-A1B11D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是( )A,1.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路:一种是用向量表示几何量,利用向量的运算进行判断.另一种是用向量的坐标表示几何量,共分三步:(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面,把立体几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系;(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.2.向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化,避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦,使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算.3.利用平面的法向量求二面角的大小时,当求出两半平面α,β的法向量n1,n2时,要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向,从而确定二面角与向量n1,n2的夹角是相等,还是互补.,1.不能灵活运用共线向量定理设出与动点M相关的向量的坐标,导致变量较多,运算量过大而致误;2.线面角θ与直线方向向量和平面法向量的夹角α之间的关系要弄清,即sinθ=|cosα|;3.对于点的探究型问题,要善于根据点的位置结合向量的有关定理灵活设出未知量,尽量使未知量个数最少.,谢谢观看！备注：部分文字使用了文字编辑器，需双击才能进行修改。](http://web.docer.wpscdn.cn/docer/new-webmall-prod/img/loading-img-42.ffcbba5.gif)
