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高中数学理科基础知识讲解《46正弦定理和余弦定理》教学课件

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高中数学理科基础知识讲解《46正弦定理和余弦定理》教学课件-PPT模板4.6　正弦定理和余弦定理,1.正弦定理和余弦定理在△AB中,若角A,B,所对的边分别是a,b,c,则,3.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线　　　　的角叫做仰角,目标视线在水平视线　　　　的角叫做俯角(如图①). (2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30°、北偏西45°、西偏北60°等.(3)方位角:指从正北方向　　　　　　转到目标方向线的水平角,如点B的方位角为α(如图②). (4)坡角:坡面与水平面所成的二面角的平面角.上方下方顺时针,1.在△AB中,因A+B+=π,所以有以下结论:(1)sin(A+B)=sin;cos(A+B)=-cos;tan(A+B)=-tan.(2)tanA+tanB+tan=tanA·tanB·tan.(3)A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB.2.由余弦定理知,当b2+c2-a2>0(=0,<0)时,A分别为锐角、直角、钝角.,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“×”.(1)在△AB中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角,能用余弦定理求边c.(　　)(2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形.(　　)(3)在△AB中,sinA>sinB的充分不必要条件是A>B.(　　)(4)在△AB中,a2+b2<c2是△AB为钝角三角形的充分不必要条件.(　　)(5)在△AB的角A,B,,边长a,b,c中,已知任意三个可求其他三个.(　　)××,D,A,5.(2019浙江杭州西湖区校级模拟)在△AB中,内角A,B,的对边分别为a,b,c,若a=2bcos,且asinA=2csinB,则△AB是　　　　　. 等腰直角三角形解析:∵在△AB中,内角A,B,的对边分别为a,b,c,a=2bcos,由余弦定理可知a=2b·,可得b2-c2=0,∴b=c.∵asinA=2csinB,∴a2=2cb=2b2=b2+c2,∴△AB是等腰直角三角形,,利用正、余弦定理解三角形,(2)(2019四川成都三模)已知△AB的内角A,B,的对边长分别为a,b,c,且=tanA+tanB.①求角A的大小;②若a=2,求△AB的面积的最大值.,思考已知怎样的条件能用正弦定理解三角形?已知怎样的条件能用余弦定理解三角形?解题心得1.已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形.正弦定理的形式多样,其中a=2RsinA,b=2RsinB,c=2Rsin能够实现边角互化.2.已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形,在运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.3.已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的“有界性”和“大边对大角”进行判断.,2,解析:(1)∵b2=a(a+c),由余弦定理,得a2+c2-2accosB=a(a+c),化简得c-a=2acosB,由正弦定理,得sin-sinA=2sinAcosB,∵=π-(A+B),∴sin(A+B)-sinA=2sinAcosB,化简得sin(B-A)=sinA,∵△AB是锐角三角形,∴B-A=A,即B=2A,,判断三角形的形状例2(1)(2019山西大同期末)在△AB中,(a,b,c分别为角A,B,的对边),则△AB的形状为(　　)A.等边三角形B.直角三角形.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形(2)设△AB的内角A,B,所对的边分别为a,b,c,若a2+b2-c2=ab,且2cosAsinB=sin,则△AB的形状为　　　　　. B等边三角形,所以cosBsin=sinA,所以cosBsin=sin(B+),即sinBcos=0.因为在(0,π)上,sinB>0,故cos=0,所以∠=90°.故选B.,思考判断三角形的形状时主要有哪些方法?解题心得判断三角形的形状时主要有以下两种方法:(1)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;(2)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数之间的关系,通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+=π这个结论.,对点训练2(1)设△AB的内角A,B,所对的边分别为a,b,c,若2sinAcosB=sin,那么△AB一定是(　　)A.直角三角形B.等腰三角形.等腰直角三角形D.等边三角形(2)设△AB的内角A,B,所对的边分别为a,b,c,若△AB的三个内角满足sinA∶sinB∶sin=5∶11∶13,则△AB(　　)A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形B,正、余弦定理与三角变换的综合问题,思考在三角形中进行三角变换要注意什么?解题心得1.在三角形中进行三角变换要注意隐含条件:A+B+=π,使用这个隐含条件可以减少未知数的个数.2.在解三角形问题中,因为面积公式S=absin=bcsinA=acsinB中既有边又有角,所以要和正弦定理、余弦定理联系起来;要灵活运用正弦定理、余弦定理实现边角互化,为三角变换提供条件.,对点训练3(2019上海浦东新区一模)在△AB中,已知c=2,=.(1)求△AB周长的最大值;(2)若2sin2A+sin(2B+)=sin,求△AB的面积. ,正、余弦定理在生活中的应用例4如图,一山顶有一信号塔D(D所在的直线与地平面垂直),在山脚A处测得塔尖的仰角为α,沿倾斜角为θ的山坡向上前进l米后到达B处,测得的仰角为β. (1)求B的长;(2)若l=24,α=45°,β=75°,θ=30°,求信号塔D的高度.,思考利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路是什么?解题心得利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的一般思路:(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,再逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,根据条件列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.,对点训练4如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶,到A处时测得公路北侧一山脚在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山脚在西偏北75°的方向上,山顶D的仰角为30°,则此山的高度D=　　m. ,1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.2.在已知关系式中,既含有边又含有角,通常的解题思路:先将角都化成边或将边都化成角,再结合正弦定理、余弦定理即可求解.3.在△AB中,已知a,b和A,利用正弦定理时,会出现解的不确定性,一般可根据“大边对大角”来取舍.1.在解三角形中,三角形内角和定理起着重要作用,在解题中要注意根据这个定理确定角的范围,确定三角函数值的符号,防止出现增解等扩大范围的现象.2.在判断三角形的形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.,一、测量高度问题的模型案例1(2019吉林长春实验中学模拟)如图,在离地面高400m的热气球上,观测到山顶处的仰角为15°,山脚A处的俯角为45°,已知∠BA=60°,则山的高度B为(　　)A.700mB.640m.600mD.560m答案:,解题心得求解高度问题的三个关注点(1)在处理有关高度问题时,理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键.(2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错.(3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.,对点训练1(2019江苏丹阳高级中学模拟)如图,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点与D,测得∠BD=15°,∠BD=30°,D=30,并在点测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB等于(　　)D,二、测量距离问题的模型案例2(2019江苏,18)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为A和BD(,D为垂足),测得AB=10,A=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.,解:(解法一)(1)过A作AE⊥BD,垂足为E.由已知条件得,四边形ADE为矩形,DE=BE=A=6,AE=D=8.因为PB⊥AB,因此道路PB的长为15(百米).,(2)①若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求.所以∠BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.,(3)先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此时P1D=P1Bsin∠P1BD=P1Bcos∠EBA=15×=9;当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.由上可知,d≥15.再讨论点Q的位置.,(解法二)(1)如图,过O作OH⊥l,垂足为H.以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系.因为BD=12,A=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3.因为AB为圆O的直径,AB=10,所以圆O的方程为x2+y2=25.,(2)①若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则EO=4<5,所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处,连接AD,由(1)知D(-4,9),所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.,(3)先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此时P1(-13,9);当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.由上可知,d≥15.再讨论点Q的位置.,解题心得1.测量距离问题,无论题型如何变化,即两点的情况如何,实质都是要求这两点间的距离,无非就是两点所在三角形及其构成元素所知情况不同而已,恰当地画出(找出)适合解决问题的三角形是解题的基础,将已知线段长度和角度转化为要解的三角形的边长和角是解题的关键.2.处理距离问题的策略(1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.,对点训练2(2019山东师大附中模拟)如图,A,B两点在河的同侧,且A,B两点均不可到达,要测出AB的距离,测量者可以在河岸边选定两点,D,测得D=a,同时在,D两点分别测得∠BA=α,∠AD=β,∠DB=γ,∠BDA=δ.在△AD和△BD中,由正弦定理分别计算出A和B,再在△AB中,应用余弦定理计算出AB.若测得D=km,∠ADB=∠DB=30°,∠AD=60°,∠AB=45°,求A,B两点间的距离.,三、测量角度问题的模型案例3(2019河北衡水二中调研)已知在岛A南偏西38°方向,距岛3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5小时能截住该走私船?,解:如图,设缉私艇在处截住走私船,D为岛A正南方向上一点,缉私艇的速度为每小时x海里,则B=0.5x,A=5,依题意,∠BA=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得B2=AB2+A2-2AB·Acos120°,所以B2=49,所以B=0.5x=7,解得x=14.所以∠AB=38°,又∠BAD=38°,所以B∥AD,故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶,恰好用0.5小时截住该走私船.,解题心得1.解决角度问题的注意事项(1)测量角度时,首先应明确方位角及方向角的含义.(2)求角的大小时,先在三角形中求出其正弦或余弦值.(3)在解应用题时,要根据题意正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点.2.测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.,对点训练3(2019湖南长郡中学模拟)如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线B前往B处救援,则cosθ的值为　　　　　. ,谢谢观看！备注：部分文字使用了文字编辑器，需双击才能进行修改。
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