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![高中数学理科基础知识讲解《22函数的单调性与最值》教学课件-PPT模板2.2 函数的单调性与最值,1.函数的单调性(1)单调函数的定义f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)上升的下降的,(2)单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间上是 或 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性, 叫做函数y=f(x)的单调区间. 增函数减函数区间2.函数的最值f(x)≤Mf(x0)=Mf(x)≥Mf(x0)=M,1.函数单调性的常用结论:,1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“”.(2)函数f(x)=log5(2x+1)的递增区间是(0,+∞).( )(3)函数y=f(x)在[a,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[a,+∞).( )(5)所有的单调函数都有最值.( )√,2.(2019新疆乌鲁木齐二模,3)图象关于原点对称且在定义域内单调递增的函数是( ).f(x)=cosx-1.f(x)=x2+2.f(x)=-.f(x)=x3解析:根据题意,函数为奇函数,对于,f(x)=cosx-1,为偶函数,不符合题意;对于,f(x)=x2+2,为偶函数,不符合题意;对于,f(x)=-是奇函数,但在其定义域中不是单调函数,不符合题意;对于,f(x)=x3是奇函数即其图象关于原点对称且在定义域内单调递增,符合题意.故选.,3.(2019全国2,理6)若a>b,则( ).ln(a-b)>0.3a<3b.a3-b3>0.|a|>|b| 解析:取a=2,b=1,满足a>b.但ln(a-b)=0,排除;∵3a=9,3b=3,∴3a>3b,排除;∵y=x3是增函数,a>b,∴a3>b3,故正确;取a=1,b=-2,满足a>b,但|a|<|b|,排除.故选.,5.(2019江西新余一中质检一,13)已知y=f(x)是定义在(-2,2)上的增函数,若f(m-1)<f(1-2m),则m的取值范围是 . ,证明或判断函数的单调性例1讨论函数f(x)=x+(a>0)在(0,+∞)内的单调性.,思考判断函数单调性的基本方法有哪些?解题心得1.判断函数单调性的四种方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)利用已知函数的单调性;(4)导数法.2.证明函数在某区间上的单调性有两种方法:(1)定义法:基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断.(2)可导函数可以利用导数证明.3.复合函数单调性的判断方法:复合函数y=f(g(x))的单调性,应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.,因为-1<x1<x2<1,所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0.故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),即函数f(x)在(-1,1)内是减函数;当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),即函数f(x)在(-1,1)内是增函数.,当a>0时,f'(x)<0,函数f(x)在(-1,1)上单调递减;当a<0时,f'(x)>0,函数f(x)在(-1,1)上单调递增.,求函数的单调区间例2(1)(2019河北石家庄二中模拟)函数f(x)=|x2-3x+2|的单调递增区间是( )(2)(2019黑龙江大庆实验中学模拟)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是( ).(-∞,-2).(-∞,1).(1,+∞).(4,+∞)(3)函数f(x)=(3-x2)ex的单调递增区间是 ;单调递减区间是 . (-3,1)(-∞,-3),(1,+∞),(2)函数y=x2-2x-8=(x-1)2-9图象的对称轴为直线x=1,由x2-2x-8>0,解得x>4或x<-2,所以(4,+∞)为函数y=x2-2x-8的一个单调递增区间.根据复合函数的单调性可知,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间为(4,+∞).(3)f'(x)=-2x·ex+ex(3-x2)=ex(-x2-2x+3)=ex[-(x+3)(x-1)],当-3<x<1时,f'(x)>0,当x>1或x<-3时,f'(x)<0,所以函数y=(3-x2)ex的单调递增区间是(-3,1),单调递减区间是(-∞,-3),(1,+∞).,思考求函数的单调区间有哪些方法?解题心得求函数的单调区间与确定函数单调性的方法一致,常用以下方法:(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间.(2)定义法:先求定义域,再利用单调性的定义.(3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间.(4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间.,对点训练2(1)(2019黑龙江哈尔滨三中二模)函数f(x)=log2(x2-3x-4)的单调递减区间为( )(2)(2019湖南湘潭一模,6)已知函数f(x)=ln(x-2)+ln(6-x),则( ).f(x)在(2,6)上单调递增.f(x)在(2,6)上的最大值为2ln2.f(x)在(2,6)上单调递减.y=f(x)的图象关于点(4,0)对称(3)已知函数y=|x|(1-x)在区间上是增函数,则区间是( ),解析:(1)由x2-3x-4>0,得f(x)的定义域为x>4或x<-1,由y=log2x是增函数,知f(x)的单调递减区间即y=x2-3x-4的单调递减区间,当x∈时,函数y=x2-3x-4单调递减,结合f(x)的定义域,可得函数f(x)=log2(x2-3x-4)的单调递减区间为(-∞,-1).故选.(2)f(x)=ln(x-2)+ln(6-x)=ln[(x-2)(6-x)],定义域为(2,6),令t=(x-2)(6-x),则y=lnt,二次函数t=(x-2)(6-x)的对称轴为直线x=4,所以f(x)在(2,4)上单调递增,在(4,6)上单调递减,错,也错,显然是错误的;当x=4时,t有最大值,所以f(x)max=ln(4-2)+ln(6-4)=2ln2,正确.,函数单调性的应用(多考向)考向1 利用函数的单调性求函数的值域或最值思考函数最值的几何意义是什么?如何利用函数的单调性求函数的值域或最值?,考向2 利用函数的单调性比较大小例4(2019全国3,理11)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则( )思考如何利用函数的单调性比较大小?,考向3 利用函数的单调性解不等式例5(2019山东潍坊一中模拟)已知函数f(x)为R上的减函数,则满足<f(1)的实数x的取值范围是( ).(-1,1).(0,1).(-1,0)∪(0,1).(-∞,-1)∪(1,+∞)思考如何解与函数有关的不等式?,考向4 利用函数的单调性求参数的值(或范围)例6(2019东北三省三校模拟三)若函数在(-∞,+∞)上单调递增,则m的取值范围是 . (0,3] ,思考如何利用函数的单调性求参数的值(或范围)?解题心得1.函数最值的几何意义:函数的最大值对应图象最高点的纵坐标,函数的最小值对应图象最低点的纵坐标.利用单调性求解最值问题,应先确定函数的单调性,再由单调性求解.2.比较函数值的大小,应先将自变量转化到同一个单调区间内,再利用函数的单调性解决.3.求解含“f”的不等式,应先将不等式转化为f(m)<f(n)的形式,再根据函数的单调性去掉“f”,应注意m,n应在定义域内取值.4.利用单调性求参数时,应根据问题的具体情况,确定函数的单调区间,列出与参数有关的不等式,或把参数分离出来求解.,.(-∞,4].[4,+∞).(-∞,5].[5,+∞)(2)(2019天津北辰模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则三个数a=f(-log313),b=,c=f(20.6)的大小关系为( ).a>b>c.a>c>b.b>a>c.c>a>b,(3)(2019广东深圳中学模拟)设函数f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(-3)=0,则f(x)<0的解集是( ).{x|-3<x<0或x>3}.{x|x<-3或0<x<3}.{x|x<-3或x>3}.{x|-3<x<0或0<x<3}(4)(2019四川成都实验外国语学校模拟)设函数.(-∞,1].[1,4].[4,+∞).(-∞,1]∪[4,+∞),解析:(1)∵x≥1时,f(x)=lnx+1的最小值为1,∴要使的最小值是1,必有x<1时,y=x2-4x+a的最小值不小于1,∵y=x2-4x+a在(-∞,1)上单调递减,∴x<1时,f(x)>a-3,则a-3≥1,a≥4,故实数a的取值范围是[4,+∞),故选.,(3)∵f(x)是奇函数,f(-3)=0,∴f(-3)=-f(3)=0,解得f(3)=0.∵函数f(x)在(0,+∞)内是增函数,∴当0<x<3时,f(x)<0;当x>3时,f(x)>0.∵函数f(x)是奇函数,∴当-3<x<0时,f(x)>0;当x<-3时,f(x)<0.则不等式f(x)<0的解集是{x|0<x<3或x<-3}.(4)作出函数f(x)的图象如图所示,由图象可知,若f(x)在(a,a+1)上单调递增,需满足a≥4或a+1≤2,即a≤1或a≥4,故选.,1.函数单调性判定的常用方法:图象法、定义法、导数法、利用已知函数的单调性.2.求函数值域或最值的常用方法:(1)先确定函数的单调性,再由单调性求值域或最值.(2)图象法:先作出函数在给定区间上的图象,再观察其最高点、最低点,求出值域或最值.(3)配方法:对于二次函数或可化为二次函数形式的函数,可用配方法求解.(4)换元法:对比较复杂的函数,可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求值域或最值.(5)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正、二定、三相等”的条件后,再用基本不等式求出值域或最值.,(6)导数法:首先求导,然后求在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出值域或最值.3.复合函数的单调性可依据“同增异减”的规律求解.4.解决分段函数的单调性问题时,要高度关注:(1)抓住对变量所在区间的讨论.(2)保证各段上同增(减)时,要注意上段、下段的端点值之间的大小关系.(3)弄清最终结果取并还是取交.,1.求函数的单调区间,应先确定函数的定义域,脱离定义域研究函数的单调性是常见的错误.2.不同的单调区间之间不能用符号“∪”连接.,中学阶段求函数值域或最值的主要方法是利用函数的单调性,对于单调性不易确定的函数,可以通过求导的方法确定.但有些函数的值域或最值通过作出函数的图象,利用数形结合的思想比较容易求出.,例1(2019北京朝阳一模,4)若函数则函数f(x)的值域是( ).(-∞,2).(-∞,2].[0,+∞).(-∞,0)∪(0,2)答案:解析:分别画出y=2x(x<1)和y=-log2x(x≥1)的图象,如图.由图象可知,函数的值域为(-∞,2).,例2用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),求f(x)的值域.解:如图所示,在同一坐标系中作出y=x+2,y=2x,y=10-x的图象,根据f(x)的定义知,应取f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0)的图象,∴当x=4时,f(x)取最大值f(4)=6,∴f(x)的值域为(-∞,6].,把函数看成坐标系内的点与点间的距离和,P(x,0),(-2,-2),(2,1),即y=|P|+|P|.通过观察图象,当P处于连线时,y=|P|+|P|取到最小值,y=||=5.所以|P|+|P|≥5,即函数值域为y∈[5,+∞).,例5已知函数f(x)是定义在R上的增函数,函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,若对任意的x,y∈R,不等式f(x2-6x+21)+f(y2-8y)<0恒成立,则当x>3时,x2+y2的取值范围是( ).(3,7).(9,25).(13,49).(9,49)答案:,解析:由函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,可知函数y=f(x)的图象关于原点(0,0)对称,即函数y=f(x)为奇函数,由f(x2-6x+21)+f(y2-8y)<0,得f(x2-6x+21)<f(-y2+8y),所以x2-6x+21<-y2+8y,整理得(x-3)2+(y-4)2<4,当x>3时,(x-3)2+(y-4)2<4表示以M(3,4)为圆心,2为半径的右半圆内部,x2+y2可看作半圆内部上的点到原点的距离的平方,可知当延长OM交半圆于点时,x2+y2的值最大,即(+2)2=49,当在点时x2+y2的值最小,最小值为32+22=13,故x2+y2的取值范围是(13,49).,答案:,归纳小结1.数形结合求函数的值域就是将函数与其图象有机地结合起来,利用图形的直观性求函数的值域,其题型特点就是这些函数的解析式具有某种几何意义,如两点的距离公式或直线的斜率等.2.数形结合求函数值域的原则是:先确定函数的定义域,再根据函数的具体形式及运算确定其值域.,谢谢观看！备注：部分文字使用了文字编辑器，需双击才能进行修改。](http://web.docer.wpscdn.cn/docer/new-webmall-prod/img/loading-img-42.ffcbba5.gif)
