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![高中数学理科基础知识讲解《122古典概型与几何概型》教学课件-PPT模板12.2 古典概型与几何概型,1.基本事件在一次试验中,我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果,它们是试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用它们来描绘,这样的事件称为 . 2.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是 的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 的和. 3.古典概型(1)定义:具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.①有限性:试验中所有可能出现的基本事件 . ②等可能性:每个基本事件出现的可能性 . 基本事件互斥基本事件只有有限个相等,4.几何概型(1)定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_____ (面积或体积)成比例,那么称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. (2)特点:①无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个;②等可能性:每个结果的发生具有等可能性.(3)公式:P()= . 5.随机模拟方法使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是随机模拟方法.长度,1.任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和.2.求试验的基本事件数及事件包含的基本事件数的方法有:列举法、列表法和树状图法.3.与面积有关的几何概型,若已知图形不明确,可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决问题.,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“×”.(1)在一次古典概型试验中,其基本事件的发生一定是等可能的.( )(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( )(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( )(5)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( )(6)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的,其基本事件个数都有限.( )××,2.(2019安徽皖南八校联考,4)《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中,任取2种进行阅读,则取到《红楼梦》的概率为( ),3.(2019安徽合肥质检,8)若a,b是从集合{-1,1,2,3,4}中随机选取的两个不同元素,则使得函数f(x)=x5a+xb是奇函数的概率为( ),4.(2019广东东莞高三二模,6)如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形,图中△为直角三角形,四边形EF为它的内接正方形,已知=2,=4,在△上任取一点,则此点取自正方形EF的概率为( ),5.(2019湖南师范大学附中,14)在长为10cm的线段上任取一点,作一矩形,邻边长分别等于线段,的长,则该矩形面积小于16cm2的概率为 . ,古典概型的概率例1(1)(2019内蒙古赤峰模拟,7)《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题:齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛,齐王获胜的概率是( )(2)(2019山东德州一模,7)在一次比赛中某队共有甲,乙,丙等5位选手参加,赛前用抽签的方法决定出场的顺序,则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是( ),思考求古典概型的概率的一般思路是怎样的?对与顺序相关的问题怎样处理?解题心得求有关古典概型的概率问题的解题策略:1.求古典概型的概率的步骤是:①判断本次试验的结果是否是等可能的,设所求的事件为;②分别计算基本事件的总数n和所求的事件所包含的基本事件个数m;③利用古典概型的概率公式P()=,求出事件的概率.2.对与顺序相关的问题处理方法为:若把顺序看作有区别,则在求试验的基本事件的总数和事件包含的基本事件的个数时都看作有区别,反之都看作没区别.,3.基本事件个数的确定方法,古典概型的交汇问题(多考向) 考向1 古典概型与平面向量的交汇,思考如何把两个向量的夹角的范围问题转化成与求概率的基本事件有关的问题?解题心得由两个向量的数量积公式,得出它们的夹角的余弦值的表达式,由夹角的范围得出点数m和n的关系m≥n,然后分别求m=n和m>n对应的事件个数,从而也清楚了基本事件的个数就是点数m和n组成的点的坐标数.,考向2 古典概型与解析几何的交汇,思考如何把椭圆的性质的问题转化成与概率的基本事件有关的问题?,考向3 古典概型与函数的交汇例4设a∈{2,4},b∈{1,3},函数f(x)=ax2+bx+1.(1)求f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数的概率;(2)从f(x)中随机抽取两个,求它们在(1,f(1))处的切线互相平行的概率.,思考如何把f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数的问题转换成与概率的基本事件有关的问题?解题心得f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数可转化成开口向上的二次函数f(x)的图象的对称轴与x轴的交点的横坐标大于或等于-1,从而得出b≤a,从而不难得出b≤a包含的基本事件数.因此也就转化成了与概率的基本事件有关的问题.,考向4 古典概型与统计的交汇例5(2019山东临沂、枣庄二模,14)某中学高二年级的甲、乙两个班各选出5名学生参加数学竞赛,在竞赛中他们取得成绩(满分100分)的茎叶图如图所示,其中甲班5名学生成绩的平均分是83分,乙班5名学生成绩的中位数是86.若从成绩在85分及以上的学生中随机抽2名,则至少有1名学生来自甲班的概率为 . ,思考如何求解概率与统计相综合的题目?解题心得根据题意求出x=5,y=6.根据茎叶图求出成绩在85分及以上的学生分布,然后转化成与概率的基本事件有关的问题.求随机抽取2名,至少有1名来自甲班的概率.,对点训练2(1)(2019广东佛山一中模拟,4)把一颗骰子投掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,向量m=(a,b),n=(1,-2),则向量m与向量n垂直的概率是( )(2)(2019山西晋城三模,6)某商场对某一商品搞活动,已知该商品每一个的进价为3元,销售价为8元,每天售出的第20个及之后的半价出售.该商场统计了近10天这种商品的销量,如图所示,设x(个)为每天商品的销量,y(元)为该商场每天销售这种商品的利润.从日利润不少于96元的几天里任选2天,则选出的这2天日利润都是97元的概率是( ),与长度、角度有关的几何概型例6(1)(2020贵州贵阳模拟,8)某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课,每节课的时间为40分钟,第一节课上课的时间为7:50~8:30,课间休息10分钟.某同学请假后返校,若他在8:50~9:30之间随机到达教室,则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为( )(2)如图,四边形为矩形,=,=1,在∠内任作射线P,则射线P与线段有公共点的概率为 . ,思考如何确定几何概型的概率是用长度或角度的比来求?解题心得解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围.(1)当考察对象为点,点的活动范围在线段上时用线段长度比计算;(2)当考察对象为线时,一般用角度比计算.,对点训练3(1)(2019四川峨眉山模拟,11)设函数f(x)=x2-2x-3,若从区间[-2,4]上任取一个实数x,则所选取的实数x满足f(x)≤0的概率为( )(2)如图所示,在平面直角坐标系内,射线OT落在30°角的终边上,任作一条射线O,则射线O落在∠yOT内的概率为 . ,与面积、体积有关的几何概型例7(1)(2018全国1,理10)右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边,直角边,.△的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则( ).p1=p2.p1=p3.p2=p3.p1=p2+p3(2)已知圆柱OO'的底面半径为1,高为6,若区域M表示圆柱OO'及其内部,区域N表示圆柱OO'内到下底面的距离大于1的点组成的集合,若向区域M中随机投一点,则所投的点落入区域N中的概率为( ),思考求与面积、体积有关的几何概型的基本思路是什么?解题心得求与面积、体积有关的几何概型的基本思路:用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域,由题意将已知条件转化为事件满足的区域,在图形中画出事件发生的区域,然后用公式,对点训练4(2019广东深圳模拟,9)勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线,它由德国机械工程专家,机构运动学家勒洛首先发现,其作法是:以等边三角形每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间作一段弧,三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.现在勒洛三角形中随机取一点,则此点取自正三角形内的概率为( )(2)(2019山西二模,9)以正方体各面中心为顶点构成一个几何体,从正方体内任取一点P,则P落在该几何体内的概率为( ),几何概型与非几何知识的综合,思考如何把看似与几何概型无关的知识转化成与几何概型有关的问题?解题心得处理几何概型与非几何知识的综合问题的关键是通过转化,将某一事件所包含的基本事件用“长度”“角度”“面积”“体积”等表示出来.如把这两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,进而转化为面积的度量来解决.,几何概型的应用(模拟方法)例9从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ),解析:如图,两数的平方和小于1的数对所在的区域为图中阴影部分(不含边界),n个数对所在的区域为边长为1的正方形.,思考依据题意如何用随机模拟的方法求圆周率π的近似值?解题心得将π看作未知数表示出四分之一的圆面积,根据几何概型的概率公式,四分之一的圆面积与正方形面积之比等于m与n之比,从而用m,n表示出π的近似值.,平面区域为Ω,用随机模拟方法近似计算Ω的面积,先产生两组(每组100个)区间[0,1]上的均匀随机数x1,x2,…,x100和y1,y2,…,y100,由此得到100个点(xi,yi)(i=1,2,…,100),再数出其中满足yi<(i=1,2,…,100)的点数为33,那么由随机模拟方法可得平面区域Ω面积的近似值为( ).0.33.0.66.0.67.,1.古典概型计算三步曲:第一,判断试验是不是等可能的;第二,本试验的基本事件有多少个;第三,事件是什么,它包含的基本事件有多少个.2.确定古典概型基本事件的方法:(1)当基本事件总数较少时,可列举计算;(2)利用计数原理、排列与组合求基本事件的个数.3.转化思想在几何概型中的应用:很多几何概型往往要通过一定的手段才能转化到几何度量值的计算上来,在解决问题时,要善于根据问题的具体情况进行转化,这种转化策略是解决几何概型试题的关键.如建立坐标系将试验结果和点对应,利用几何概型概率公式计算.,本部分内容讲解结束按ES键退出全屏播放备注：部分文字使用了文字编辑器，需双击才能进行修改。](http://web.docer.wpscdn.cn/docer/new-webmall-prod/img/loading-img-42.ffcbba5.gif)
