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初中数学人教版八年级上册《角的平分线的性质（2）》课件

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  • 初中数学人教版八年级上册《角的平分线的性质（2）》课件-PPT模板12.3角的平分线的性质人教版八年级数学上,（1）角的平分线性质定理的内容是什么？其中题设、结论是什么？（2）角平分线性质定理的作用是证明什么？（3）填空如图：∵OC平分∠AOB，_________________.∴AC=BC（角平分线性质定理）角的平分线上的点到角的两边的距离相等；题设是一个点在角平分线上，结论是这个点到角两边的距离相等.证明垂线段相等OA⊥AC,OB⊥BC,回顾旧知，回忆类活动把角平分线性质定理的题设、结论交换后，得出什么命题？猜想：它正确吗？到角两边距离相等的点在角平分线上.它是正确的.,依据猜测写出已知、求证，并画图，而后独立写出证明过程.证明：∵PA⊥OM，BP⊥ON∴∠OAP=∠OBP=90°在Rt△AOP和Rt△BOP中，∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）∴∠1=∠2∴OC平分∠MON证明上面的猜想已知：OM⊥PA于A，ON⊥PB于B，AP=BP求证：OC平分∠MON,归纳角平分线的判定定理：到一角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）探究一：角平分线的判定,现有一条题目，两位同学分别用两种方法证明，他们的做法正确吗？哪一种方法好？已知：CA⊥OA于A，BC⊥OB于B，AC=BC求证：OC平分∠AOB证法1：∵CA⊥OA，BC⊥OB∴∠A=∠B在△AOC和△BOC中，∴△AOC≌△BOC（HL）∴∠AOC=∠BOC∴OC平分∠AOB,证法2：∵CA⊥OA于A，BC⊥OB于B，AC=BC∴OC平分∠AOB（角平分线判定定理）归纳：两种方法都正确，“证法2”好，证角平分线不再用证三角形全等后再证角相等得出，可直接运用角平分线判定定理.现有一条题目，两位同学分别用两种方法证明，他们的做法正确吗？哪一种方法好？已知：CA⊥OA于A，BC⊥OB于B，AC=BC求证：OC平分∠AOB,结合图形完善表中内容∠1＝∠2（OP平分∠MON），PA⊥OM，PB⊥ONPA＝PB证明垂线段相等PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∠1＝∠2（OP平分∠MON）证明角相等（平分角）,角平分线的性质和判定之间有什么关系？角平分线性质的题设是角平分线判定的结论，角平分线性质的结论是角平分线判定的题设；角平分线性质的作用是证明线段相等，角平分线判定的作用是证明平分角；角平分线性质定理和角平分线判定定理是互为逆定理.,今天我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．,例1.已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．证明：（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知），∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定义）．又∵AC＝AC′（已知），∴点A在∠CBC′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．∴∠ABC＝∠ABC′．,例1.已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．证明：（2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′，∴180°－（∠C＋∠ABC）＝180°－（∠C′＋∠ABC′）即∠BAC＝∠BAC′，∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，∴BC＝BC′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．,练习：如图，已知AB=AC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE=DF.求证：BD=DC证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF∴∠BAD=∠CAD又∵AB=AC，AD=AD∴△ADB≌△ADC∴BD=CD【思路点拨】由DE=DF，可得∠BAD=∠CAD（角平分线的判定），则△ADB≌△ADC，所以BD=CD.,提升型例题例2.如图，△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∠A=40°，则∠BOC=（　　）A．110°B．120°C．130°D．140°解：由已知，O到三角形三边距离相等，所以O是内心，即三角形角平分线交点，AO、BO、CO都是角平分线，所以有∠CBO=∠ABO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB，∠ABC+∠ACB=180°−40°=140°，∠OBC+∠OCB=70°，∠BOC=180°−70°=110°，故选A.A,练习：如图，△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∠A=52°，则∠BOC=（　　）A．128°B．116°C．75°D．52°解：如图，∵∠A=52°∴∠ABC+∠ACB=180°-52°=128°∵点O到△ABC三边的距离相等∴点O是△ABC角平分线的交点在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-64°=116°．B,例3.已知：如图，AD、BE是△ABC的两个角平分线，AD、BE相交于O点.求证：O在∠C的平分线上.证明：过O作OG⊥AB，OM⊥BC，ON⊥AC，∵AO平分∠BAC，∴OG=ON，∵BO平分∠ABC，∴OG=OM，∴ON=OM，∴O在∠C的平分线上.,练习：如图，BP是△ABC的外角平分线，点P在∠BAC的角平分线上．求证：CP是△ABC的外角平分线．证明：过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF∵BP是△ABC的外角平分线，PD⊥AD，PF⊥BC∴PD=PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）∵点P在∠BAC的角平分线上，PD⊥AD，PE⊥AE∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）∴PF=PE，PF⊥BC，PE⊥AE∴CP是△ABC的外角平分线（在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上）,例4.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：AD是∠BAC的平分线．探究型例题证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD，∴△BDE与△CDF是直角三角形，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线．,练习：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，BE＝CF.求证：AD是△ABC的角平分线.证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BDE和△CDF是直角三角形．∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE=DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是角平分线．,（1）能证明角平分线判定定理；（2）理解角平分线的性质和判定的关系；（3）能利用角平分线的性质和判定进行证明和计算.,（1）理解角平分线性质与判定的关系；（2）灵活利用角平分线性质与判定解决线段和角有关的问题.,完成“《角的平分线的性质（2）》随堂检测”,谢谢大家
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  • 页数：23页
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