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初中数学专题讲解2《中考试题中的数学文化》

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初中数学专题讲解2《中考试题中的数学文化》-PPT模板中考试题中的数学文化,【文化背景】——正负术中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章,在世界数学史上首次正式引入负数,并建立了正负数加减法法则,即“正负术”.加法法则:“异名相除,同名相益,正无入正之,负无入负之.”其意义是异号两数相加,绝对值相减;同号两数相加,绝对值相加;0加正数为正;0加负数为负.类似地有减法法则:“同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之.”其中包含绝对值的比较,与今完全一致.,1.《九章算术》中注有“今两算得失相反,要令正负以名之”,意思是今有两数若其意义相反,则分别叫做正数与负数.若气温为零上10℃记作+10℃,则-3℃表示气温为()A.零上3℃B.零下3℃.零上7℃D.零下7℃B,2.中国人很早开始使用负数,中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章,在世界数学史上首次正式引入负数.如果收入100元记作+100元,那么-80元表示()A.支出20元B.收入20元.支出80元D.收入80元,【文化背景】——方程术《九章算术》中的“方程”理论是世界数学史上的重大成就,刘徽在《方程》一章中,不仅阐发和增补了方程诸术,并且为这一理论奠定了基础.盈不足术通过两次“假设检验”将一般数学问题化为特定的盈亏类问题模式,而“方程”也是按照一定的规程进行试验考核而得到的数学模式.,A.①②B.②④.②③D.③④D,4.(2019山西模拟)盈不足术是中国古代解决盈亏类问题的一种算术方法.中国古代数学名著《九章算术》中,专辟一章名为“盈不足”.该章第一个问题大意是“有几个人一起去买一件物品,每人出8元,多3元;每人出7元,少4元.问该物品售价为多少元?”则该物品售价为　　元. 53,【文化背景】——算筹在算筹计数法中,以纵横两种排列方式来表示单位数目,其中1-5均分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示,6-9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示.表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,以此类推,遇零则置空.,5.我国是最早认识负数,并进行相关运算的国家.在古代数学名著《九章算术》里,就记载了利用算筹实施“正负术”的方法,图1表示的是计算3+(-4)的过程.按照这种方法,图2表示的过程应是在计算()A.(-5)+(-2)B.(-5)+2.5+(-2)D.5+2,【文化背景】——勾股《九章算术》是中国古代一部伟大的数学著作,著作中包含246个数学应用问题,分别属于方田、粟米、衰(cui)分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股这九章.第九章“勾股”章一共包含24个问题,绝大部分与当时社会生活密切相关,而利用勾股定理这些问题都得到了圆满的解决.,6.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题:“今有饼池径丈,葭生其中,出水两尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深,葭各几何?”其意思是有一个直径为一丈的圆柱形水池,池中心生有一颗类似芦苇的植物,露出水面两尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐,问水有多深?该植物有多高?其中一丈等于十尺,如图,若从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为(),7.《九章算术》勾股章有一问题,其意思是现有一竖立着的木柱,在木柱上端系有绳索,绳索从木柱上端顺木柱下垂后,堆在地面的部分尚有3尺,牵着绳索退行,在离木柱根部8尺处时绳索用尽,请问绳索有多长?若设绳索长度为x尺,根据题意,可列方程为()A.82+x2=(x-3)2B.82+(x+3)2=x2.82+(x-3)2=x2D.x2+(x-3)2=82提示:设绳索长为x尺,可列方程为82+(x-3)2=x2,故选.,【文化背景】——杨辉三角杨辉三角形,又称贾宪三角形,帕斯卡三角形,是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》(1261年)一书中用如图的三角形解释二项和的乘方规律.杨辉三角,8.我们知道,很多数学知识相互之间都是有联系的.如图,图一是“杨辉三角”数阵,其规律是从第三行起,每行两端的数都是“1”,其余各数都等于该数“两肩”上的数之和;图二是二项和的乘方(a+b)n的展开式(按b的升幂排列).经观察:图二中某个二项和的乘方的展开式中,各项的系数与图一中某行的数一一对应,且这种关系可一直对应下去.将(s+x)15的展开式按x的升幂排列得:(s+x)15=a0+a1x+a2x2+…+a15x15.依上述规律,解决下列问题:(1)若s=1,则a2=　　; (2)若s=2,则a0+a1+a2+…+a15=　　. 105315,提示:(1)由图二知,(a+b)1的第三项系数为0,(a+b)2的第三项的系数为1,(a+b)3的第三项的系数为3=1+2,(a+b)4的第三项的系数为6=1+2+3,…,所以(1+x)3的第三项系数为3=1+2;(1+x)4的第三项系数为6=1+2+3;(1+x)5的第三项系数为10=1+2+3+4;不难发现(1+x)n的第三项系数为1+2+3+…+(n-2)+(n-1).所以a2=1+2+3+…+14=105,故为105.(2)有(s+x)15=a0+a1x+a2x2+…+a15x15,当x=1时,a0+a1+a2+…+a15=(2+1)15=315,故为315.,9.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中,用如图的三角形解释二项式(a+b)n的展开式的各项系数,此三角形称为“杨辉三角”. 根据“杨辉三角”,计算(a+b)8的展开式中从左起第四项的系数为()A.84B.56.35D.28B,提示:找规律发现(a+b)4的第四项系数为4=3+1;(a+b)5的第四项系数为10=6+4;(a+b)6的第四项系数为20=10+10;(a+b)7的第四项系数为35=15+20;所以(a+b)8第四项系数为21+35=56.故选B.,【文化背景】——海伦——秦九韶公式海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式,传说是古代的叙拉古国王希伦(Heron,也称海龙)二世发现的公式.中国宋代的数学家秦九韶在1247年也提出了“三斜求积术”,它与海伦公式基本一样,所以这个公式又称为海伦——秦九韶公式.,A,1,【文化背景】——赵爽弦图勾股定理是刻画直角三角形特征的一条重要定理,它的发现、验证、应用蕴含着丰富的文化价值.中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理,而且很早就尝试对勾股定理进行了证明.最早对勾股定理进行证明的是汉代数学家赵爽,他以“弦图”为基本图形,后人称之为“赵爽弦图”,利用出入相补原理证明了勾股定理,尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法,更具有科学创新的重大意义.,12.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中,中间的小正方形ABD的边长为2,分别以A,为圆心,2为半径作圆弧,则图中阴影部分的面积为　　. 2π-4,13.如图,该图案是3世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.已知AE=3,BE=2,若向正方形ABD内随意投掷飞镖(每次均落在正方形ABD内,且落在正方形ABD内任何一点的机会均等),则恰好落在正方形EFGH内的概率为 　. ,【文化背景】——海岛算经《海岛算经》由刘徽于三国魏景元四年(公元263年)所撰,本为《九章算术注》之第十卷,题为《重差》.全书共9题,所有问题都是利用两次或多次测望所得的数据,来推算可望而不可及的目标的高、深、广、远,因首题测算海岛的高、远而得名.此卷书被收集于明成祖时编修的《永乐大典》中,现保存在英国剑桥大学图书馆.,14.我国魏晋时期数学家刘徽编撰的最早一部测量数学著作《海岛算经》中有一题:今有望海岛,立两表齐高三丈,前后相去千步,令后表与前表参相直.从前表却行一百二十三步,人目着地,取望岛峰,与表末参合.从后表却行一百二十七步,人目着地,取望岛峰,亦与表末参合.问岛高几何?,译文:今要测量海岛上一座山峰AH的高度,在B处和D处树立标杆B和DE,标杆的高都是3丈,B和D两处相隔1000步(1丈=10尺,1步=6尺),并且AH,B和DE在同一平面内.从标杆B后退123步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端在同一直线上;从标杆ED后退127步的G处可以看到顶峰A和标杆顶端E在同一直线上.则山峰AH的高度是　　. 1255步,【文化背景】——斐波那契数列斐波那契数列,又称黄金分割数列,因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.指的是这样一个数列:0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、…….在现代物理、准晶体结构、化学等领域,斐波纳契数列都有直接的应用,为此,美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志,用于专门刊载这方面的研究成果.,(-6,25)提示:由题意,P5在P2的正上方,推出P9在P6的正上方,且到P6的距离为21+5=26,所以P9的坐标为(-6,25),故为(-6,25).,【文化背景】——莱洛三角形以一个等边三角形的3个顶点为圆心,边长为半径,作各内角所对应的圆弧.擦去原来的等边三角形,剩下的图形就是莱洛三角形,也叫曲边三角形或弧三角形.,3π,17.阅读理解:如图1,☉O与直线a、b都相切,不论☉O如何转动,直线a、b之间的距离始终保持不变(等于☉O的直径),我们把具有这一特性的图形称为“等宽曲线”,图2是利用圆的这一特性的例子,将等直径的圆棍放在物体下面,通过圆棍滚动,用较小的力就可以推动物体前进,据说,古埃及人就是利用这样的方法将巨石推到金字塔顶的.,拓展应用:如图3所示的弧三角形(也称为莱洛三角形)也是“等宽曲线”,如图4,夹在平行线c、d之间的莱洛三角形无论怎么滚动,平行线间的距离始终不变,若直线c、d之间的距离等于2cm,则莱洛三角形的周长为　　cm. 2π,【文化背景】——托勒密定理克罗狄斯·托勒密(laudiusPtolemaeus,约90年-168年),“地心说”的集大成者,生于埃及,罗马帝国统治下的著名的天文学家、地理学家、占星学家和光学家.一般几何教科书中的“托勒密定理”,实出自依巴谷(Hipparchus)之手,托勒密只是从他的书中摘出.,18.请阅读下列材料,并完成相应的任务.克罗狄斯•托勒密(约90年-168年),古希腊天文学家、地理学家和光学家.在数学方面,他还论证了四边形的特性,即有名的托勒密定理,托勒密定理的内容如下:圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和.如图1,若四边形ABD内接于☉O,则有　　　　. ,(1)材料中划横线部分应填写的内容为　　　　　　　　. (2)如图2,已知四边形ABD内接于☉O,BD平分∠AB,∠OD=120°,求证:BD=AB+B.,解:(1)由托勒密定理可得A·BD=AB·D+B·AD,故为A·BD=AB·D+B·AD.(2)连接A,如图,∵∠OD=120°,∴∠BD=∠AD=60°,∵BD平分∠AB,∴∠ABD=∠BD=60°,∴∠AD=60°,∴△AD是等边三角形,∴A=AD=D,∵四边形ABD是圆内接四边形,∴A·BD=AB·D+B·AD,∴BD=AB+B.,【文化背景】——费马点皮埃尔·德·费马,17世纪法国律师和业余数学家,被誉为“业余数学家之王”.他曾提出关于三角形的一个有趣问题:在三角形所在平面上,求一点,使该点到三角形三个顶点距离之和最小.人们称这个点为“费马点”.,19.(2019山西模拟)皮埃尔·德·费马,17世纪法国律师和业余数学家,被誉为“业余数学家之王”.1638年勒·笛卡儿邀请费马思考关于三个顶点距离为定值的函数问题,费马经过思考并由此提出费马点的相关结论.定义:若一个三角形的最大内角小于120°,则在其内部有一点,可使该点所对三角形三边的张角均为120°,此时该点叫做这个三角形的费马点.例如,如图1,点P是△AB的费马点.,请结合阅读材料,解决下列问题:已知:如图2,锐角△DEF.(1)尺规作图,并标明字母.①在△DEF外,以DF为一边作等边△DFG.②作△DFG的外接圆☉O.③连接EG交☉O于点M.,(2)求证:(1)中的点M是△DEF的费马点.,解:根据作图步骤,作出图形,如图1所示:(2)如图2所示:,连接DM、FM,由图知,DF=DG=FG,∴△DFG是等边三角形,∴∠DFG=∠FDG=∠DGF=60°,∵四边形DMFG是圆内接四边形,∴∠DGF+∠DMF=180°,∴∠DMF=120°,∵∠DMG=∠DFG=60°,∴∠DME=180°-∠DMG=120°,∵∠FMG=∠FDG=60°,∴∠EMF=120°,∴∠DME=∠DMF=∠EMF=120°,∴点M是△DEF的费马点.,END感谢观看下节课再会
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